Задача №1791

Решение

Докажем, что \(\displaystyle{n-\ln{n}\gt{0}}\). Рассмотрим функцию \(\displaystyle{f(x)=x-\ln{x}}\) при \(\displaystyle{x\ge{1}}\). Так как \(\displaystyle{f'(x)=1-\frac{1}{x}\gt{0}}\) при \(\displaystyle{x\gt{1}}\) и \(\displaystyle{f(1)\gt{0}}\), то \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\) при \(\displaystyle{x\ge{1}}\). Следовательно, \(\displaystyle{f(n)\gt{0}}\), т.е. \(\displaystyle{n-\ln{n}\gt{0}}\), поэтому заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n-\ln{n}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n-\ln{n}}}\). Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\), используя признак сравнения в предельной форме. Перед этим докажем вспомогательный предел, применив правило Лопиталя:

Применяем признак сравнения:

Так как гармонический ряд расходится, то будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n-\ln{n}}}\). Проверим выполнение условий признака Лейбница для исходного знакочередующегося ряда. Обозначим \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{n-\ln{n}}}\).

Первое условие выполнено. Для доказательства второго условия рассмотрим функцию \(\displaystyle{g(x)=\frac{1}{x-\ln{x}}}\) при условии \(\displaystyle{x\gt{1}}\). Так как \(\displaystyle{g'(x)=\frac{1-x}{x\cdot(x-\ln{x})^2}\lt{0}}\), то \(\displaystyle{g(x)}\) убывает. Из убывания функции \(\displaystyle{g(x)}\) имеем \(\displaystyle{g(x)\gt{g(x+1)}}\), т.е. \(\displaystyle{u_n\gt{u_{n+1}}}\). Оба условия признака Лейбница выполнены, но ряд из модулей расходится, поэтому ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n-\ln{n}}}\) сходится условно.