Задача №1790
Условие
Исследовать на сходимость ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n^3}{2^n}}\).
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}n^3}{2^n}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}}\). Применим признак Д'Аламбера:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3\cdot{2^n}}{2^{n+1}\cdot{n^3}}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{1}{2}\lt{1}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}}\) сходится, поэтому ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n^3}{2^n}}\) сходится абсолютно.
Ответ:
Ряд сходится абсолютно.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2797 |