Задача №1789
Условие
Исследовать на сходимость ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}\).
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}\). Так как степень \(\displaystyle{\frac{1}{2}\le{1}}\), то данный ряд расходится. Проверим выполнение условий признака Лейбница для заданного знакочередующегося ряда:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0;\;\frac{1}{\sqrt{n}}\gt\frac{1}{\sqrt{n+1}}.
\]
Оба условия признака Лейбница выполнены, однако ряд из модулей расходится, поэтому ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}\) сходится условно.
Ответ:
Ряд сходится условно.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2796 |