Задача №1787
Условие
Исследовать на сходимость ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot{2^n}}}\).
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot{2^n}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot{2^n}}}\). Применим признак Д'Аламбера:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{n\cdot{2^n}}{(n+1)\cdot{2^{n+1}}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+2}
=\frac{1}{2}.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{1}{2}\lt{1}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot{2^n}}}\) сходится, поэтому ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot{2^n}}}\) сходится абсолютно.
Ответ:
Ряд сходится абсолютно.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2794 |