Задача №1786

Решение

Заданный ряд является знакопеременным (при \(\displaystyle{\alpha\neq{0}}\)). Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin{n\alpha}}{n^2}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin{n\alpha}|}{n^2}}\). Так как \(\displaystyle{|\sin{n\alpha}|\le{1}}\), то \(\displaystyle{\frac{|\sin{n\alpha}|}{n^2} \le \frac{1}{n^2}}\).

Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходится (так как степень \(\displaystyle{2\gt{1}}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin{n\alpha}|}{n^2}}\). Следовательно, ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n\alpha}}{n^2}}\) сходится абсолютно.