Задача №1784

Решение

Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^3}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}}\). Сравним данный ряд с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}}\), используя признак сравнения в предельной форме:

Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}}\) сходится (так как степень \(\displaystyle{3\gt{1}}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}}\). Следовательно, ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^3}}\) сходится абсолютно.