Задача №1783

Решение

Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}}\). Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\), используя признак сравнения в предельной форме:

Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}}\). Проверим выполнение условий признака Лейбница для заданного знакочередующегося ряда:

Оба условия признака Лейбница выполнены, однако ряд из модулей расходится, поэтому ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}}\) сходится условно.