Задача №1782

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}}\). Применим радикальный признак Коши:

Применим к ряду \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}}\) признак Д'Аламбера:

Так как \(\displaystyle{\frac{1}{e}\lt{1}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}}\) сходится, поэтому \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0}\). Следовательно, \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=0}\), т.е. ряд \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}=0}\) сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}}\).