Задача №1781
Условие
Доказать соотношение \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0}\) с помощью ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}}\).
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{n^n}{(n!)^2}}\). Применим признак Д'Аламбера:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{((n+1)!)^2}\cdot\frac{(n!)^2}{n^n}\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)
=0\cdot{e}
=0.
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}}\) сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0}\).
Ответ:
Равенство \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0}\) доказано.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2788 |