Задача №1780
Условие
Доказать соотношение \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n)!}=0}\) с помощью ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(2n)!}}\).
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{n^n}{(2n)!}}\). Применим признак Д'Аламбера:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{n^n}\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4n+2}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)
=0\cdot{e}
=0.
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(2n)!}}\) сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n)!}=0}\).
Ответ:
Равенство \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n)!}=0}\) доказано.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2787 |