Задача №1779

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{(2n)!}{a^{n!}}}\). Применим признак Д'Аламбера:

Рассмотрим вспомогательный ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}}}\).

Исследуем сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{a^n}}\) с помощью признака Д'Аламбера:

Так как \(\displaystyle{a\gt{1}}\), то \(\displaystyle{\frac{1}{a}\lt{1}}\). Вывод: ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{a^n}}\) сходится. Следовательно, будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{12n^2}{a^n}}\), поэтому согласно признаку сравнения ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}}}\) сходится. Из сходимости данного ряда имеем \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}}=0}\), поэтому для исходного ряда имеем \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=0}\). Это означает, что ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{a^{n!}}}\) сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{a^{n!}}=0}\).