Задача №1778

Решение

Знак \(\displaystyle{a}\) в условии не оговорен. Если \(\displaystyle{a=0}\), то равенство \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0}\) очевидно. Пусть \(\displaystyle{a\neq{0}}\). Рассмотрим ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{a^n}{n!}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|a|^n}{n!}}\). Разумеется, что при \(\displaystyle{a\gt{0}}\) ряд из модулей будет совпадать с исходным рядом. Применим признак Д'Аламбера:

Ряд из модулей сходится. Это означает сходимость исходного ряда (при \(\displaystyle{a\gt{0}}\)) или абсолютную сходимость исходного ряда (при \(\displaystyle{a\lt{0}}\)). Так как ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}}\) сходится, то для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0}\).