Задача №1777
Условие
Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{\pi}{2n}}\).
Решение
Так как \(\displaystyle{0\lt\frac{\pi}{2n}\le\frac{\pi}{2}}\), то данный ряд знакоположительный. Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}}\right)
=\frac{\pi}{2}.
\]
Согласно признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость заданного ряда.
Ответ:
ряд расходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2784 |