Задача №1776
Условие
Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}}\).
Решение
Применим признак Д'Аламбера.
\[
u_n=\frac{n!}{n^n};\; u_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!}{(n+1)^n}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n!}{(n+1)^n}\cdot\frac{n^n}{n!}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}
=\frac{1}{e}.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{1}{e}\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2783 |