Задача №1775
Условие
Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n\cdot{2^n}}}\).
Решение
Применим признак Д'Аламбера.
\[
u_n=\frac{3^n}{n\cdot{2^n}};\; u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)\cdot{2^{n+1}}}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3^{n+1}}{(n+1)\cdot{2^{n+1}}}\cdot\frac{n\cdot{2^n}}{3^n}\right)
=\frac{3}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}
=\frac{3}{2}.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{3}{2}\gt{1}}\), то ряд расходится.
Ответ:
ряд расходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2782 |