Задача №1773
Условие
Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^4}}\).
Решение
Применим признак Д'Аламбера.
\[
u_n=\frac{2^n}{n^4};\; u_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)^4}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{n+1}}{(n+1)^4}\cdot\frac{n^4}{2^n}\right)
=2\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^4}
=2.
\]
Так как \(\displaystyle{2\gt{1}}\), то ряд расходится.
Ответ:
ряд расходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2780 |