Задача №1772
Условие
Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\arctg^n\frac{1}{n}}\).
Решение
Применим радикальный признак Коши. Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\arctg^n\frac{1}{n}}\).
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\arctg^n\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\arctg\frac{1}{n}
=0.
\]
Так как \(\displaystyle{0\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2779 |