Задача №1771
Условие
Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{3^n}}\).
Решение
Применим признак Д'Аламбера.
\[
u_n=\frac{2n-1}{3^n};\; u_{n+1}=\frac{2n+1}{3^{n+1}}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+1}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{2n-1}\right)
=\frac{1}{3}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n-1}
=\frac{1}{3}.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{1}{3}\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2778 |