Задача №1770
Условие
Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{1+n^2}}\).
Решение
Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\):
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{n}{1+n^2}}
=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)
=1.
\]
Согласно признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость заданного ряда.
Ответ:
ряд расходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2777 |