Задача №1767
Условие
Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}}\).
Решение
\[
u_n=\frac{n^2}{n!}=\frac{n}{(n-1)!};\;u_{n+1}=\frac{n+1}{n!}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n!}\cdot\frac{(n-1)!}{n}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2}
=0.
\]
Так как \(\displaystyle{0\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2774 |