Задача №1763

Решение

Покажем убывание функции \(\displaystyle{f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\ln\frac{x+1}{x-1}}\). Находить производную \(\displaystyle{f'(x)}\) и выяснять её знак несколько затруднительно, поэтому пойдём иным путём. Запишем функцию в форме \(\displaystyle{f(x)=\frac{y(x)}{g(x)}}\), где \(\displaystyle{y(x)=\ln\frac{x+1}{x-1}}\), \(\displaystyle{g(x)=\sqrt{x}}\). Все рассуждения ведём при \(\displaystyle{x\ge{2}}\).

Так как \(\displaystyle{\frac{x+1}{x-1}\gt{1}}\), то \(\displaystyle{y(x)\gt{0}}\). Так как \(\displaystyle{y'(x)=-\frac{2}{x^2-1}\lt{0}}\), то функция \(\displaystyle{y(x)}\) убывает. С учётом возрастания функции \(\displaystyle{g(x)}\), убывания функции \(\displaystyle{y(x)}\) и положительности обеих функций \(\displaystyle{y(x)}\) и \(\displaystyle{g(x)}\) получим:

Функция \(\displaystyle{f(x)}\) убывает. Рассмотрим вспомогательный интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x}}}\):

Из сходимости вспомогательного интеграла и конечности рассмотренного выше предела следует сходимость интеграла \(\displaystyle{\int\limits_{2}^{\infty}f(x)dx}\). Следовательно, заданный ряд сходится.