Задача №1762

Решение

В предыдущих примерах на интегральный признак Коши убывание подынтегральной функции было очевидным. Чтобы при \(\displaystyle{x\ge{1}}\) показать убывание функции \(\displaystyle{f(x)=\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)^2}\) достаточно указать, что \(\displaystyle{f'(x)=-2\cdot\frac{x^3+3x^2+x-1}{\left(x^2+1\right)^3}\lt{0}}\).

Рассмотрим вспомогательный интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}}\):

Так как \(\displaystyle{\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)^2\lt\left(\frac{x+x}{x^2}\right)^2=\frac{4}{x^2}}\) и \(\displaystyle{\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}}\) сходится, то будет сходиться и интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{1}^{\infty}\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)^2dx}\). Следовательно, заданный ряд сходится.