Задача №1760
Условие
Решить вопрос о сходимости ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}}\) с помощью интегрального признака Коши.
Решение
\[
\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^2(x+1)}
=\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{1}^{b}\frac{d(\ln(x+1))}{\ln^2(x+1)}=\\
=\lim_{b\to+\infty}\left.\left(-\frac{1}{\ln(x+1)}\right)\right|_{1}^{b}
=\lim_{b\to+\infty}\left(-\frac{1}{\ln(b+1)}+\frac{1}{\ln{2}}\right)
=\frac{1}{\ln{2}}.
\]
Интеграл сходится, поэтому будет сходиться и заданный ряд.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2767 |