Задача №1759
Условие
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}}{3^n}}\).
Решение
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}}{3^n}}
=\frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
=\frac{e}{3}.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{e}{3}\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2766 |