Задача №1757
Условие
Доказать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n}\) с помощью радикального признака Коши.
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n}\).
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}
=\frac{1}{2}.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{1}{2}\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходитсяИсточники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2764 |