Задача №1756
Условие
Доказать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln^n(n+1)}}\) с помощью радикального признака Коши.
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{\ln^n(n+1)}}\).
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{\ln^n(n+1)}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}
=0.
\]
Так как \(\displaystyle{0\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2763 |