Задача №1754
Условие
Доказать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)!}}\) с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
\[
u_n=\frac{n}{(n+1)!};\; u_{n+1}=\frac{n+1}{(n+2)!}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{(n+2)!}\cdot\frac{(n+1)!}{n}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n(n+2)}
=0.
\]
Так как \(\displaystyle{0\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2761 |