Задача №1753
Условие
Доказать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(n^2\sin\frac{\pi}{2^n}\right)}\) с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
\[
u_n=n^2\sin\frac{\pi}{2^n};\; u_{n+1}=(n+1)^2\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^2}{n^2}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{\frac{\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}}{\frac{2\sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{\pi}{2^n}}}\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{1}{2}\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2760 |