Задача №1751
Условие
Доказать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}}\) с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
\[
u_n=\frac{n^2}{3^n};\;
u_{n+1}=\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{n^2}\right)
=\frac{1}{3}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2
=\frac{1}{3}.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{1}{3}\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2758 |