Задача №1749
Условие
Доказать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(n\tg\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}\) с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
\[
u_n=n\tg\frac{\pi}{2^{n+1}};\; u_{n+1}=(n+1)\tg\frac{\pi}{2^{n+2}}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\cdot\frac{\tg\frac{\pi}{2^{n+2}}}{\tg\frac{\pi}{2^{n+1}}}\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{\frac{\tg\frac{\pi}{2^{n+2}}}{\frac{\pi}{2^{n+2}}}}{\frac{2\tg\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}}\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{1}{2}\lt{1}}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2756 |