Задача №1746
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)}\).
Решение
Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)}{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)=\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)\left(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}\right)}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}}=\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}
=1.
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и заданный ряд.
Ответ:
ряд расходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2753 |