Задача №1745
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)}\).
Решение
Сравним данный ряд с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)}{\frac{1}{n\sqrt{n}}}=\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}
=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}})}
=1.
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}\) сходится (так как степень \(\displaystyle{\frac{3}{2}\gt{1}}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)}\).
Ответ:
ряд сходитсяИсточники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2752 |