Задача №1742

Решение

Обозначим \(\displaystyle{n_0=8^{16}}\). Рассмотрим функцию \(\displaystyle{f(x)=x^{\frac{1}{8}}-\ln{x}}\) при условии \(\displaystyle{x\ge{n_0}}\). Так как \(\displaystyle{f'(x)=\frac{x^{\frac{1}{8}}-8}{8x}\gt{0}}\) и \(\displaystyle{f(n_0)=64-48\ln{2}\gt{0}}\), то при \(\displaystyle{x\ge{n_0}}\) верно неравенство \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\). Иными словами, при всех \(\displaystyle{x\ge{n_0}}\) имеем \(\displaystyle{x^{\frac{1}{8}}\gt\ln{x}}\). Это означает, что при \(\displaystyle{n\ge{n_0}}\) верно неравенство \(\displaystyle{n^{\frac{1}{8}}\gt\ln{n}}\).

Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{9}{8}}}}\) сходится (так как степень \(\displaystyle{\frac{9}{8}\gt{1}}\)), поэтому будет сходиться и его остаток \(\displaystyle{\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{9}{8}}}}\). Следовательно, согласно признаку сравнения будет сходиться ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}}\), который является остатком ряда, заданного в условии. Из сходимости остатка \(\displaystyle{\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}}\) следует сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}}\).