Задача №1741
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}}\).
Решение
Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}}{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}}
=1.
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}}\).
Ответ:
ряд расходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2748 |