Задача №1740
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2}\).
Решение
Сравним данный ряд с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2}{\frac{1}{n^2}}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+n^3}{1+n^3}\right)^2
=1.
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходится (так как степень \(\displaystyle{2\gt{1}}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2}\).
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2747 |