Задача №1739
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-4n+5}}\).
Решение
Данный ряд знакоположительный так как \(\displaystyle{n^2-4n+5=(n-2)^2+1\gt{0}}\). Сравним данный ряд с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2-4n+5}}{\frac{1}{n^2}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2-4n+5}
=1.
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходится (так как степень \(\displaystyle{2\gt{1}}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-4n+5}}\).
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2746 |