Задача №1735
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\displaystyle{\tg\frac{\pi}{4}+\tg\frac{\pi}{8}+\ldots+\tg\frac{\pi}{4n}+\ldots}\).
Решение
Так как \(\displaystyle{0\lt\frac{\pi}{4n}\le\frac{\pi}{4}}\), то \(\displaystyle{\tg\frac{\pi}{4n}\gt{0}}\), т.е. заданный ряд знакоположительный. Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\tg\frac{\pi}{4n}}\). Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\tg\frac{\pi}{4n}}{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\tg\frac{\pi}{4n}}{\frac{\pi}{4n}}\right)
=\frac{\pi}{4}.
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\tg\frac{\pi}{4n}}\).
Ответ:
ряд расходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2742 |