Задача №1733
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\displaystyle{\frac{1}{2\cdot{5}}+\frac{1}{3\cdot{6}}+\ldots+\frac{1}{(n+1)(n+4)}+\ldots}\).
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(n+1)(n+4)}}\). Так как \(\displaystyle{n+1\gt{n}}\) и \(\displaystyle{n+4\gt{n}}\), то \(\displaystyle{(n+1)(n+4)\gt{n^2}}\).
\[
\frac{1}{(n+1)(n+4)} \lt \frac{1}{n^2}
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходится, поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+4)}}\).
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2740 |