Задача №1732
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\displaystyle{1+\frac{1+2}{1+2^2}+\ldots+\frac{1+n}{1+n^2}+\ldots}\).
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1+n}{1+n^2}}\). Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1+n}{1+n^2}}{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{1+n^2}
=1.
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{1+n^2}}\).
Ответ:
ряд расходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2739 |