Задача №1731
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\displaystyle{\sin\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{4}+\ldots+\sin\frac{\pi}{2^n}+\ldots}\).
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\sin\frac{\pi}{2^n}}\). Так как \(\displaystyle{0\lt\frac{\pi}{2^n}\le\frac{\pi}{2}}\), то \(\displaystyle{u_n\gt{0}}\). Сравним данный ряд с сходящимся рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2^n}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{1}{2^n}}
=\lim_{n\to\infty}\left(\pi\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{\pi}{2^n}}\right)
=\pi.
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2^n}}\) сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}\sin\frac{\pi}{2^n}}\).
Ответ:
ряд сходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2738 |