Задача №1730
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\displaystyle{\frac{1}{1\cdot{2}}+\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}}+\ldots}\).
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}}}\). Так как \(\displaystyle{2n-1\ge{1}}\) и \(\displaystyle{2^{2n-1}\ge{2^n}}\), то получим:
\[
\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}} \le \frac{1}{2^n}
\]
Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}}\) сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}}}\).
Ответ:
ряд сходитсяИсточники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2737 |