Задача №1729

Условие

Найти сумму \(\displaystyle{n}\) первых членов ряда \(\displaystyle{\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2n^2}+\ldots}\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.

Решение

Попробуем найти закономерность для частичной суммы ряда. Используем формулу \(\displaystyle{\arctg{x}+\arctg{y}=\arctg\frac{x+y}{1-xy}}\).

\[ \begin{aligned} & S_1=\arctg\frac{1}{2};\\ & S_2=S_1+\arctg\frac{1}{8}=\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}=\arctg\frac{2}{3};\\ & S_3=S_2+\arctg\frac{1}{18}=\arctg\frac{2}{3}+\arctg\frac{1}{18}=\arctg\frac{3}{4};\\ & S_4=S_3+\arctg\frac{1}{32}=\arctg\frac{3}{4}+\arctg\frac{1}{32}=\arctg\frac{4}{5}. \end{aligned} \]

Гипотеза: \(\displaystyle{S_n=\arctg\frac{n}{n+1}}\). Докажем методом математической индукции. При \(\displaystyle{n=1}\) равенство выполнено. Пусть при \(\displaystyle{n=k}\) верно равенство \(\displaystyle{S_k=\arctg\frac{k}{k+1}}\). Для \(\displaystyle{n=k+1}\) получим:

\[ S_{k+1} =S_k+\arctg\frac{1}{2(k+1)^2} =\arctg\frac{k}{k+1}+\arctg\frac{1}{2(k+1)^2} =\arctg\frac{k+1}{(k+1)+1}. \]

Гипотеза доказана, т.е. формула \(\displaystyle{S_n=\arctg\frac{n}{n+1}}\) истинна.

\[ \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\arctg\frac{n}{n+1} =\arctg{1} =\frac{\pi}{4}. \]

Ряд сходится, его сумма равна \(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\).

Ответ:

\(\displaystyle{S_n=\arctg\frac{n}{n+1}}\), \(\displaystyle{S=\frac{\pi}{4}}\).

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №9	Ряды
Параграф №1	Числовые ряды
Задача №2736