Задача №1724
Условие
Найти сумму \(\displaystyle{n}\) первых членов ряда \(\displaystyle{\frac{1}{1\cdot{7}}+\frac{1}{3\cdot{9}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+5)}+\ldots}\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+5)}=\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+5}\right)}\). Частичная сумма ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+5}\right)=\\
=\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+5}
=\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{2k-1}=\\
=\frac{1}{6}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\right)-\frac{1}{6}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{2k-1}-1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\\
=\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)\right)
=\frac{23}{90}.
\]
Ряд сходится, его сумма равна \(\displaystyle{\frac{23}{90}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{S_n=\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)}\), \(\displaystyle{S=\frac{23}{90}}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2731 |