Задача №1723
Условие
Найти сумму \(\displaystyle{n}\) первых членов ряда \(\displaystyle{\frac{1}{1\cdot{4}}+\frac{1}{2\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+3)}+\ldots}\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{n\cdot(n+3)}=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)}\). Частичная сумма ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3}\right)
=\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+3}
=\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{k}=\\
=\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)-\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\\
=\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)
=\frac{11}{18}-\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{3n+6}-\frac{1}{3n+9}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{11}{18}-\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{3n+6}-\frac{1}{3n+9}\right)
=\frac{11}{18}.
\]
Ряд сходится, его сумма равна \(\displaystyle{\frac{11}{18}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{S_n=\frac{11}{18}-\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{3n+6}-\frac{1}{3n+9}}\), \(\displaystyle{S=\frac{11}{18}}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2730 |