Задача №1722
Условие
Найти сумму \(\displaystyle{n}\) первых членов ряда \(\displaystyle{\frac{1}{1\cdot{4}}+\frac{1}{4\cdot{7}}+\ldots+\frac{1}{(3n-2)\cdot(3n+1)}+\ldots}\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(3n-2)\cdot(3n+1)}=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right)}\). Частичная сумма ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right)
=\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{3k+1}=\\
=\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{3k-2}
=\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3n+1}\right)-\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{3k-2}-1\right)
=\frac{1}{3}-\frac{1}{9n+3}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{9n+3}\right)
=\frac{1}{3}.
\]
Ряд сходится, его сумма равна \(\displaystyle{\frac{1}{3}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{9n+3}}\), \(\displaystyle{S=\frac{1}{3}}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2729 |
| Задачник №3 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №2) |
| Параграф №13 | Свойства сходящихся рядов |
| Задача №2 | |
| Пункт №2 |