Задача №1721
Условие
Найти сумму \(\displaystyle{n}\) первых членов ряда \(\displaystyle{\frac{1}{1\cdot{3}}+\frac{1}{3\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}+\ldots}\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)}\). Частичная сумма ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)
=\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\\
=\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k-1}
=\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2n+1}\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2k-1}-1\right)
=\frac{1}{2}-\frac{1}{4n+2}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4n+2}\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Ряд сходится, его сумма равна \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{S_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{4n+2}}\), \(\displaystyle{S=\frac{1}{2}}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2728 |