Задача №1720
Условие
Найти сумму \(\displaystyle{n}\) первых членов ряда \(\displaystyle{\frac{1}{1\cdot{2}}+\frac{1}{2\cdot{3}}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+1)}+\ldots}\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\). Частичная сумма ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}=\\
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}
=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-1\right)
=1-\frac{1}{n+1}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)
=1.
\]
Ряд сходится, его сумма равна 1.
Ответ:
\(\displaystyle{S_n=1-\frac{1}{n+1}}\), \(\displaystyle{S=1}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2727 |