Задача №1685

Решение

Сразу отметим, что подынтегральная функция \(\displaystyle{f(x)=\frac{1-\cos{x}}{x^m}}\) неотрицательна на промежутке \(\displaystyle{\left[0;\frac{\pi}{2}\right)}\). С учётом того, что при \(\displaystyle{x\to{0+0}}\) имеем \(\displaystyle{1-\cos{x}\sim\frac{x^2}{2}}\), получим:

Известно, что интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^k}}\), где \(\displaystyle{b\gt{a}}\), сходится при \(\displaystyle{k\lt{1}}\) и расходится при \(\displaystyle{k\ge{1}}\). Доказательство можно посмотреть в книге Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №2, пример №4 в пункте №479 (стр. 579)).

Интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x^{m-2}}}\) есть частный случай указанного выше интеграла \(\displaystyle{\int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{(x-a)^k}}\) при \(\displaystyle{a=0}\), \(\displaystyle{b=\frac{\pi}{2}}\), \(\displaystyle{k=m-2}\). Это значит, что интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{x^{m-2}}}\) сходится только при условии \(\displaystyle{m-2\lt{1}}\), т.е. \(\displaystyle{m\lt{3}}\). Соответственно, при \(\displaystyle{m\ge{3}}\) данный интеграл расходится.

Отсюда следует, что интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{m-2}}\right)dx}\) сходится при \(\displaystyle{m\lt{3}}\) и расходится при \(\displaystyle{m\ge{3}}\). Это значит, что и исходный интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx}\) сходится и расходится при тех же условиях.