Задача №1684

Решение

Сперва сделаем пару замечаний относительно подынтегральной функции \(\displaystyle{f(x)=x^k\frac{x+\sin{x}}{x-\sin{x}}}\). Если \(\displaystyle{x=1}\), то \(\displaystyle{f(1)=\frac{1+\sin{1}}{1-\sin{1}}\gt{0}}\). Если же \(\displaystyle{x\gt{1}}\), то ввиду неравенства \(\displaystyle{-1\le\sin{x}\le{1}}\) имеем \(\displaystyle{x\gt{1}\ge\sin{x}}\), т.е. \(\displaystyle{x-\sin{x}\gt{0}}\). Аналогично из неравенства \(\displaystyle{-1\le-\sin{x}\le{1}}\) получим \(\displaystyle{x+\sin{x}\gt{0}}\).

В принципе, оба доказанных неравенства непосредственно следуют из более общего соотношения \(\displaystyle{|x|\gt|\sin{x}|}\) при \(\displaystyle{x\neq{0}}\), однако для данного случая ограничимся простыми рассуждениями, указанными выше.

Из неравенств \(\displaystyle{x-\sin{x}\gt{0}}\) и \(\displaystyle{x+\sin{x}\gt{0}}\) следует, что при \(\displaystyle{x\ge{1}}\) имеем \(\displaystyle{f(x)\gt{0}}\).

Рассмотрим вспомогательный интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{1}^{+\infty}{x^k}dx=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{-k}}}\). Известно, что интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{\alpha}}}\) сходится при \(\displaystyle{\alpha\gt{1}}\) и расходится при \(\displaystyle{\alpha\le{1}}\). Доказательство можно посмотреть, например, в книге Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (том №2, пункт №470 (стр. 553)). Используя это утверждение, получим, что интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{1}^{+\infty}{x^k}dx}\) сходится при \(\displaystyle{-k\gt{1}}\), \(\displaystyle{k\lt{-1}}\) и расходится при \(\displaystyle{k\ge{-1}}\).

Следовательно, интегралы \(\displaystyle{\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)dx}\) и \(\displaystyle{\int\limits_{1}^{+\infty}{x^k}dx}\) сходятся или расходятся одновременно. Это значит, что при \(\displaystyle{k\lt{-1}}\) интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)dx}\) сходится, а при \(\displaystyle{k\ge{-1}}\) расходится.