Задача №1680
Условие
Вычислить приближённо, пользуясь формулой Симпсона, интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+x^4}dx}\). Число частичных интервалов \(\displaystyle{n=10}\).
Решение
Отрезок \(\displaystyle{[0;1]}\) разбиваем на 10 частей точками \(\displaystyle{x_0=0}\), \(\displaystyle{x_1=\frac{1}{10}}\),...,\(\displaystyle{x_9=\frac{9}{10}}\), \(\displaystyle{x_{10}=1}\). Значения функции \(\displaystyle{f(x)=\sqrt{1+x^4}}\) в указанных точках будут такими:
\[
\begin{aligned}
& f(x_0)=1;\\
& f(x_1)\approx{1{,}00005};\\
& f(x_2)\approx{1{,}00080};\\
& f(x_3)\approx{1{,}00404};\\
& f(x_4)\approx{1{,}01272};\\
& f(x_5)\approx{1{,}03278};\\
& f(x_6)\approx{1{,}06283};\\
& f(x_7)\approx{1{,}11360};\\
& f(x_8)\approx{1{,}18727};\\
& f(x_9)\approx{1{,}28690};\\
& f(x_{10})\approx{1{,}41421}.\\
\end{aligned}
\]
Согласно формуле Симпсона, получим:
\[\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+x^4}dx
\approx\frac{1}{30}\cdot\left(f(x_0)+f(x_{10})+2\cdot\left(f(x_2)+f(x_4)+f(x_6)+f(x_8)\right)+4\cdot\left(f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)+f(x_7)+f(x_9)\right) \right)
\approx{1{,}0894}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{1{,}0894}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №7 | Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы |
| Параграф №2 | Приближённые методы |
| Задача №2351 |